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Valeurs propres

Définition : Une transformation $\mathrm{t}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V}$ possède une valeur propre scalaire $\lambda$ s'il existe un vecteur propre non-nul $\vec{\zeta} \in \mathrm{V}$ telle que $\mathrm{t}(\vec{\zeta})=\lambda \cdot \vec{\zeta}$

Exemple : La projection

$$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \stackrel{\pi}{\longmapsto}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 0 \end{array}\right) \quad x, y, z \in \mathbb{C} $$

possède une valeur propre égale à 1 associée au vecteur propre

$$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ 0 \end{array}\right) $$

où $x$ et $x$ sont des scalaires non-nuls. A l'inverse, $2$ n'est pas une valeur propre de la projection. Cela reviendrait en effet à doubler le vecteur de telle manière que $x=2x$, $y=2y$, et $0=2z$ - ce qui n'est pas possible pour un vecteur propre différent de 0 ($\vec{\zeta} = \vec{0}$).


Définition : Une matrice carrée $T$ possède une valeur propre scalaire $\lambda$ associée au vecteur propre non-nul $\vec{\zeta}$, si $T\vec{\zeta}=\lambda \cdot \vec{\zeta}$